Pembahasan Soal Turunan Fungsi: Titik Balik Maksimum

Pembahasan

Langkah 1. Cari titik stasioner dengan syarat $f'(x) = 0$: $$f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = 0$$ Bagi kedua ruas dengan $-3$: $$x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0$$ Diperoleh $x = 3$ atau $x = -1$. Langkah 2. Uji jenis stasioner menggunakan turunan kedua $f''(x) = -6x + 6$: Untuk $x = 3 \implies f''(3) = -6(3) + 6 = -12 < 0$ (Maksimum). Untuk $x = -1 \implies f''(-1) = -6(-1) + 6 = 12 > 0$ (Minimum). Langkah 3. Hitung nilai $y$ untuk $x = 3$: $$f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 2 = -27 + 27 + 27 - 2 = 25$$ Titik balik maksimum adalah $(3, 25)$.

Konsep

Titik stasioner terjadi saat $f'(x) = 0$. Jenis titik maksimum terjadi jika turunan keduanya bernilai negatif ($f''(x) < 0$).